| 发布日期：2024-09-26 08:18 点击次数：149 |
天地中的基本力之一是弱力。弱力触及将原子纠合在一王人或将它们分开......
作家：Ursula Whitcher（乌苏拉·惠彻） 2023-7-1
译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-4
你传闻过句子末尾的句号（period）和正弦波的周期（period，该英文单词一词多义，译者注）。周期这个词在数论中也有极端的含义。这些周期对于处罚粒子物理常识题稀奇有效。在本月的专栏中，我将告诉你谋划周期是什么、物理学的来历以及统统这些与甜甜圈几何气象的干系的更多信息。
从甜甜圈到积分
也许你听过这么一个见笑：拓扑学家无法分辩咖啡杯和甜甜圈。（若是你不老练，请查抄 Keenan Crane 和 Henry Segerman 画图的谋划两者变换的精采无比插图。）
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几何学家有时分辩咖啡杯和甜甜圈。咱们致使不错分辩不同类型的甜甜圈。
举例，这是一个厚而甜的甜甜圈：
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一个厚厚的饼状甜甜圈，上头笼罩着松软的糖
（像片由5th Luna拍摄， CC BY-NC 2.0）
这是一个薄脆的甜甜圈：
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一个薄脆的甜甜圈，中间有个大孔
（像片由Janet Bianchini拍摄， CC BY-NC 2.0）
但甜甜圈的几何气象是如斯别有洞天，一朝你开动检验它，就很难再探究其他事情了！
让咱们转换式地描写一下两个甜甜圈之间的区别。理思化的数学圆环曲面称为环面（torus，复数tori）。咱们不错使用两个圆来表征圆环的气象，一个圆围绕外部，另一个圆穿过中心的孔。在一个厚厚的饼状环面上，这两个圆的大小大约换取。
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理思化数学的厚厚的甜甜圈，其圆围绕中心孔并通过中心孔。
在一个薄脆的圆环面上，外圆比内圆大得多。
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理思的数学的薄脆甜甜圈，大圆围绕中心孔，小圆穿过中心孔
在这些示例中，圆很容易测量。但有时环面以更复杂的方式出现。举例，假定x和y是复数变量，t是复数参数。探究方程的解
y² = x(x-1)(x-t)
这即是著名的（对于数论学家来说）勒让德椭圆弧线（elliptic curve）族。若是咱们在“无限远”处引入一个解，那么从拓扑学上来说，它即是一个环面族。很难画图两个复变量方程的解，但咱们不错画图实数值。当设参数t等于3 时，如下所示：
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具有两个实数重量的椭圆弧线
你不错将画图实数点的图形看作以一定角度切开甜甜圈。在此图中，你不错看到其中一个圆的歪斜版块和第二个圆的一部分。
测量这两个圆的长度很辣手。咱们不错尝试微积分课上的一个通用数学政策：建立一个积分来测量弧长。在这种情况下，适当的积分是：
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这里，积分是在环面/椭圆弧线中适当的节略闭合弧线γ上进行的。
但有一个问题！我将用一张容易欺压的橙色猫的漫画来解释它。
球员时代旅欧的朴柱昊推荐了前利兹联，现任加拿大队主帅马什，但委员会居然很多人不知道马什是谁。一度被认为是新帅头号热门的马什谈判失败后，朴柱昊又陆续推荐了尼科·科瓦奇、泰尔齐奇、瓦格纳、吉斯多尔（霍芬海姆）、费舍尔（柏林联合）、图赫尔等德甲背景名帅，但委员会一开始就有人力挺洪明甫，哪怕洪明甫明确拒绝，也一直在候选名单内。更令朴柱昊震惊的是：连利物浦都无法承受年薪要价2000万美元的葡萄牙名帅阿莫林，居然在韩国足协12人候选人之中，而韩国足协外教年薪预算上限仅有200万美元！
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画了一只睁大眼睛的猫，它说哇，这个积分果真很难！
猫莫得说谎：这个积分果真很难。微积分课上的尺度时刻不起作用。事实上，这个积分莫得阻塞气象的代数解。
周期和微分方程
积分
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是一个周期的示例。对于数论学家来说，周期是一个通过在适当的子空间上求代数抒发式的积分而赢得的数字。（从时刻上讲，咱们应该有时使用不等式和有理所有这个词的代数方程组来描写咱们正在积分的区域。）
许多道理的常量，举例 π 和 ㏒ 2，都不错写成周期。对于周期有好多大而道理的问题：举例，咱们如何描写哪些数字行为周期出现？使用积分运算，不错说明周期相加或相乘会产生一个新周期。这使得周期具有环（ring）的结构。另一个悬而未决的大问题是描写周期环知足的所谋划系。
让咱们回偏激来尝试明白咱们的特定周期。咱们知谈积分的恶果是一个取决于参数t的数字，因此咱们将积分视为函数P(t)。咱们不错对其求导数：
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当咱们求导时，积分绚丽下的抒发式变得愈加复杂，但它保握换取的一般气象。通过找到一个公分母（common denominator），咱们不错详情P(t)、P'(t)和P''(t)之间的干系：
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这是一个微分方程！（它被称为Picard-Fuchs 方程，小程序开发公司以法国数学家 Émile Picard（埃米尔·皮卡） 和德国犹太数学家 Lazarus Fuchs（拉扎鲁斯·富克斯） 的名字定名。）行为二阶微分方程，该 Picard-Fuchs 方程有两个稀少的解。这些解对应于环面上的两个不同的圆。
求解微分方程的尺度步地是使用无限级数（infinite series）。在这种情况下，咱们周期的微分方程的解之一不错写成以下级数：
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其等分子触及一个抒发式
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看起来很像高潮阶乘出动了1/2相同。若是咱们用简写
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替换这个抒发式，咱们的级数就会赢得更紧凑的暗示法：
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这是一个著名的级数，称为超几何级数（hypergeometric series），其分子参数为1/2，1/2；分母参数为1 （因为分母中只好一个阶乘）。统统这个词级数有时用更紧凑的绚丽抒发：
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谋划求解经由的更多谨防信息，包括第二个稀少周期的描写，请参阅 Don Zagier 的深化论文《微分方程的算术和拓扑》 https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.4171/176-1/33/HirzebruchLectureECM2016.pdf 。我思向你展示表面物理学中出现的一个更复杂的周期。
日落和费曼图
在粒子物理学中，描写电子和光子等基本粒子之间的相互作用触及筹谋袭击的积分。（更晦气的是，从数学家的角度来看，这些积分可能并不老是精采界说的！）物理学家使用复杂性束缚加多的称为费曼图（Feynman diagrams）的图表来组织这些筹谋。创建和操作费曼图有特定的执法，但在初步雷同时，东谈主们不错思象它们论说了粒子再会、相互作用并可能阅历波折，然后分谈扬镳的故事。
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具有多个轮回的费曼图
天地中的基本力之一是弱力（weak force）。弱力触及将原子纠合在一王人或将它们分开。它是箝制辐射性衰变经由并使碳14检测年事成为可能的力量。
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一棵树的横截面
东谈主们不错期骗树木年轮来校准碳-14测年的步地。比尔·卡斯曼拍摄（专家鸿沟）。
要进行触及弱力的筹谋，必须使用包含轮回的费曼图。这是一个带有两个轮回的费曼图，有时称为日落图（sunset diagram）。
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小程序开发看起来像穿过圆心的箭头的费曼图
好意思国数学家斯宾塞·布洛赫（Spencer Bloch）和法国物理学家皮埃尔·范霍夫（Pierre Vanhove）联手商议日落图。为了简化问题，他们使用了一个只好两个时空维度的模子。（思象粒子跟着时候的推移沿着一条线往还出动。）他们假定相互作用经由中产生的统统粒子都具有换取的质地m，有一个固定的外部动量K，况且他们输入了一个常数μ来均衡单元。恶果所以下日落积分：
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这个积分果真稀奇稀奇难！
关节问题之一是其分母可能为 0。要了解更多对于那儿分母消散，咱们不错设
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恶果是一个取决于参数 t的弧线族：
(1+x+y)(x+y+xy) - txy = 0
这是 t=11 的恶果图。
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具有两个实数重量且对于直线 y=x 对称的椭圆弧线
该图的特征可能看起来很老练。咱们有一个歪斜的圆和另一个圆的一部分——甜甜圈切片又转头了！换句话说，(1+x+y)(x+y+xy) - txy =0 是参数化的椭圆弧线族。
布洛赫和范霍夫收受了一种看似老练的政策。他们设
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来简化单元，然后寻找一个触及J的微分方程，
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由于该微分方程的右侧不为零，因此求解它比求解咱们之前看到的微分方程更复杂。尺度微分方程步地分两步处罚此类问题。最初，求解王人次方程（homogeneous equation），假定右侧为零。然后，找到非王人次方程（inhomogeneous equation）的解，其中右侧追到零常数。
布洛赫和范霍夫说明，对于J⊝的Picard-Fuchs 微分方程的王人次解不错用经典超几何级数来写：
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这个级数用触及 1/12和5/12的高潮阶乘替换咱们之前看到的 1/2。我使用 − 来引导为级数变量插入了更复杂的抒发式。
为了求解竣工的非王人次方程，咱们需要另一个极端常数Li₂(z)，称为二重对数（dilogarithm）。二重对数不错写成无限级数。当|z| < 1时，
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二重对数亦然一个周期！咱们不错用二重积分来写它。
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因此，周期为咱们提供了一种精准的步地来描写日落图积分的解，同期亦然吃甜甜圈的根由！
进一步阅读
Spencer Bloch 和 Pierre Vanhove，日落图的椭圆二重对数。J. Number Theory 148 (2015), 328–364. MR3283183, arXiv:1309.5865 [hep-th]。
马克西姆·康采维奇和唐·扎吉尔，周期。Mathematics unlimited—2001 and beyond, 771–808, Springer, Berlin, 2001. MR1852188, IHEP
Stefan Müller-Stach， 什么是……周期？AMS 见告， 2014年9月
Don Zagier，微分方程的算术和拓扑。欧洲数学大会，717–776， Eur. Math. Soc., Zürich, 2018. MR3890449, MPIM
唐·扎吉尔 (Don Zagier)，《高出的二重对数》。J. Math. Phys. Sci. 22 (1988), no. 1, 131–145. MR940391, MPIM
致谢
我感谢英国剑桥艾萨克·牛顿数学科学商议处所 K 表面、代数环和动机同伦表面形状时代赐与的接济和怜惜管待，我在该商议所的 30周年庆祝行为时代展示了该本色的一个版块。这项责任赢得了 EPSRC （编号EP/R014604/1）的接济。
参考府上
https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/07/01/period-math-physicals/
小乐数学科普：帽子戏法——好意思国数学会科普专栏
小乐数学科普：一种不相同的距离感——Maria Fox好意思国数学会专栏
小乐数学科普：矩阵是什么？——James Propp培育专栏
小乐数学科普：展望友谊和其他道理的图机器学习任务——译自AMS好意思国数学会专栏
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