作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克小程序开发价格，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30
译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3
弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过阅兵鸿沟论器具来搭伙和简化数学。本文尝试态状这一流程中的一些里程碑和愿景。
1 连气儿统物理（Continuum physics，即连气儿介质物理）
劳维尔出身于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的女儿。他在印第安纳大学学习物理学，很快就以为推理需要采纳更多可用的以及更明确的基础，尤其是在连气儿统（连气儿介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有访佛的基础议程。劳维尔此时依然看到了鸿沟论方法的必要性。第一步是为了结果“鸿沟能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末结果）。关键的一步是他对函数空间变成的鸿沟论表述，用到了通用性（追随函子 adjoint functor）：笛卡尔闭鸿沟（Cartesian closed categories）。
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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月
特拉斯德尔私行计算了艾伦伯格，以促使劳维尔看成艾伦伯格的博士生参加哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，其时劳维尔去了加利福尼亚，从群众塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等那儿学习更多的逼近论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中独特是代数表面的见识所以无暗示的阵势给出的。
2 逼近的鸿沟
对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的改造点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理教诲。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的宽绰采访中[2]，劳维尔说：
在里德，我被辅导，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时刻试图计算基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）逼近论的微积分课程。但是，闲适评估之后发现，从遮掩微分和积分的集会档次结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些档次。康托尔无结构逼近的鸿沟结构似乎既浅易又接近。因此，逼近鸿沟的基本表面产生于纯正的践诺造就需要。
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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99
劳维尔的许普遍学建树（见识，构造和定理）是由于戮力阅兵微积分和工程数学教学的效果，况且这些戮力导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不可在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错左证映射的见识来表述ƒ: A → B（偏激合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:
从玄学上讲，不错说这些发展相沿了，即使在逼近论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中始终以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的内容并不存在于内容中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像内容），而是存在于神气中（举例由通用映射属性界说，有影响的见识是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和灵验处理这些想法的具体时刻机器，是由Eilenberg-Mac Lane的鸿沟论，函子和当然变换表面提供。
在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在那儿探访了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼得手迷惑了多位鸿沟论学家参与。值得防御的是，单据（monad）的见识以及它与代数表面和同调性的关系被修复（见[3]）。
从苏黎世起程，不错参加在德国南部隔邻的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔碰到了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学方法，如SGA4中所述[1]。
3 格罗滕迪克
格罗滕迪克的责任对劳维此自后的责任产生了根人道的影响。他们第一次碰面是在尼斯的ICM（1970年外洋数学家大会），他们都是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“糊口”领略。
1973年，他们都来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：
我明晰地紧记他率领我代数几何的基本观点，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，商量他对一个技俩的看法[...]。我临了一次见他是在1989年的归并个地点（Aurelio Carboni从米兰开车送我去那儿）：他赫然很欢悦见到我，但因为宗教誓词不言语；他在一张纸上写谈，他也被辞谢辩论数学，尽管很快他的数学灵魂告成了，留给我一些零散的数学条记。
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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学
4 鸿沟能源学和抽象微分几何
在1967年的大部分时刻里，劳维尔是芝加哥大学的助理教诲。劳维尔在这里启动在高档讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕连气儿介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（其时正在劳维尔的指导下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的独特产出不是皆备锻练的鸿沟能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无限小”对象D（运用假设空间鸿沟的笛卡尔闭结构），具有可暗示的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）念念路的一个方面自后被一些东谈主发展为一个锻练的“抽象微分几何”（synthetic differential geometry）。
代数几何的贤人，这是鸿沟能源学中发展的基础，也不错引入并应用在尺度光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的真义上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关蹙迫的是不条件使用生成元和关系暗示。
5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑
劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，依然更慑服，拓扑斯不仅看成鸿沟能源学的布景，而且适用于逼近论和逻辑的见识：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于连气儿统假设的责任）。在布拉加的采访中，他说：
这些赫然皆备不同的拓扑斯，波及无限小的领略和高档逻辑，可能是归并个浅易公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的甘愿。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的时代，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语抒发变成相伴层（associated sheaf）的运算问题的效果，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。
此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学获取了著名的基拉姆教诲职位，联系我们其时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），通常得到基拉姆的相沿。这意味着在1969年至1971年时代，达尔豪斯成为一个吵杂的地点；独特是在数学上，初等拓扑斯的见识在这里爽朗明确结晶。值得防御的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才矜重出书）。
但是，在1971年，达尔豪西的梦之队被拆伙了；大学行政部门拒却与劳维尔续约协议，因为他的政事行动抗议越南干戈和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危急为借口暂停民事解放。（但在1995年，达尔豪斯专揽了行动庆祝鸿沟论50年，劳维尔有参与）
劳维尔在1971年耽误哈利法克斯前夜组织的一次会议，有蹙迫的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].
1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座教诲（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座教诲（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新观点，得到安妥和更芜俚传播。另外，1973年劳维尔临了假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保捏密切计算；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。
咱们在哈利法克斯和自后学习的拓扑斯独特是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的分辩。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯鸿沟的一种输入，即在它们的函子相互关系中的拓扑斯。这些研究是由好多研究东谈主员开导的，并记载在许普遍学专著、著作融会议中（有或莫得会议范例）。劳维尔独特积极地参与会议，通常看成特邀主讲东谈主；他对获取他的想法的钞票以及愿景以书面神气写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于鸿沟能源学的创举性演讲，直到1978年才以书面神气在奥胡斯举行的捏续“通达日”夏日会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面方法”[5]。
1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔一皆）在布法罗组织了一次会议，“连气儿介质物理学中的鸿沟”，连气儿介质物理学的好多主要研究东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议记载中的三篇著作 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。
软件开发劳维尔于1977年在达勒姆蹙迫的大型夏日会议的科学指导委员会中，其“层的应用” [4]，象征着在数学和物理表面见识化中运用相对浅易的主题的冲破。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的鸿沟”的演讲，但是，我无法找到书面记载。另一方面，如实关联于劳维尔在此次会议上的演讲（有浓烈的诡辩）的记载，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学玄学和发展的看法。我把它包括在内，因为如若莫得反馈他的政事/玄学生活和责任中不当协的脾性，那么劳维尔的讣告是不齐备的：
在这场达勒姆诡辩中，劳维尔在演讲启动时说（左证我的条记和记念）：
数学是研究空间神气和数目关系的科学。数学的主见是什么？其主见是泄漏这种关系，以便看成东谈主们和洽起来科罚出产斗殴中的问题（不是数常识题）以及这种斗殴的讲求性（即科学实验）的基础。
在演讲的早期阶段，依然出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“出产的主见是什么？” 劳维尔想了好片刻才回话：“带你来这里！”
在演讲的后期，劳维尔说：
数学逻辑的主见；泄漏和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的阵势：还有一个反主见：交代、复杂化和拦阻数学的学习、使用和发展。独特是，通过促进来冻合髻展：商酌将就一切都参加一个够锛自赏的框架[...]。这两个主见在咱们每个东谈主的内心都在相互斗殴。[...]正常，反主见胜过主见。这是因为反主见相宜统领阶层的利益。这是畴前100年来发生了遍及变化的事情。把持资产阶层的利益反对出产力的发展。
6 公理内聚
这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和玄学责任的总共方面齐备综述的地点。再提供一些关键词：概率、鸿沟逻辑、辩论/纤维鸿沟、度量空间看成充实后的鸿沟，语言学，芜俚与密集数目，物理量鸿沟，格拉斯曼，公理内聚。
正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。
以下是2007年出书物的援用：
需要明确的内聚科学来解说能源学数学表面的多样布景模子。这么的科学需要有阔气的进展力，来解说这些布景与其他数学鸿沟有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯和洽，以致于它们不错相互振荡。这种相互退换的日常例子是天气预告员从有限元方法（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到连气儿介质热力学方程（不错看作是光滑函数和分散所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。
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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天
这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p! ⊣ p^* ⊣ p_* ⊣ p^! ,字符串中的每个字符串都与下一个字符串左追随。此类字符串的示例 在拓扑中很熟谙：
p! 将某空间的献媚组件的逼近关联到（充分好的）该空间，p^* 将逼近上的闹翻空间结构关联到该逼近，P_* 将其点集关联到该空间，临了P^! 将逼近上的协闹翻空间结构关联到该逼近。在拓扑斯鸿沟中，这种字符串的属性组成了上述引文中条件的诸多辞别。
劳维尔冷漠的好多想法中唯唯一部分依然写出来，更毋庸说发表、成形，但只以种子的神气存在于身边东谈主的念念想和条记中。
也许，异日硕果累累的植物将从这些种子中长出来。如若种子更容易获取，种子的发芽将得到加强。一些修复此类档案的行动正在开展，独特是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere
对于作家：
安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉教诲。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔指导下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的通达日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了好多鸿沟表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 抽象微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的抽象几何》（剑桥大学出书社，2010年）。
参考贵府
[1] M. Artin, A. Grothendieck and J. L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269, Springer, Berlin (1972)
[2] M. M. Clemetino and J. Picado, Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)
[3] B. Eckmann (ed.), Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80, Springer, Berlin (1969)
[4] M. P. Fourman, C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds), Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic, algebra and analysis (Durham 1977), Lecture Notes in Math. 753, Springer, Berlin (1979)
[5] A. Kock (ed.), Topos theoretic methods in geometry, Various Publications Series 30, Aarhus University, Aarhus (1979)
[6] F. W. Lawvere (ed.), Toposes, algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274, Springer, Berlin (1972)
前区奇偶：上期前区奇偶比为3：2，最近10期前区奇偶比为26：24，本期注意前区奇码走热，奇偶比看好开出4：1。
[7] F. W. Lawvere, Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19, no. 3, 41–49 (2007)
[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.), Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174, Springer, Berlin (1986)
[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel, Conceptual mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)
[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143
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